键盘摄影（三）——等效焦距和等效光圈

2020-05-09

相机传感器的尺寸会影响接收到的光学图像的画幅，不只是镜头，传感器尺寸也会影响相机的视野。如果我们在光学系统中保持其他不变，只改变机身使用不同画幅的传感器，我们就会看到原来大尺寸传感器的图片仿佛被裁切了一样，于是我们引入了剪切系数，来衡量画幅的不同对成像的影响，并介绍等效焦距和等效光圈这样的数学工具来方便我们比较画幅不同时的焦距和光圈的成像效果。

等效焦距

所谓等效焦距，是指由于画幅的变化，相机视野的变化而导致焦距的变化。如 4/3 画幅，由于其 CMOS 面积几乎为全画幅的 1/4 ，因此，其可取拍摄面积只是全画幅的1/4。

就相当于焦距为 x 的残幅相机所看到的景色，相当于全幅相机使用 2x 焦距看到的更远更小的景色，也可以理解为全幅的景色直接裁切。

全画幅的概念是直接从胶片时代继承过来的，我们称传感器面积与 35mm 底片相同的相机为全画幅相机。所以焦距为 x 的残幅相机，我们称呼它的 35mm 等效焦距为 2x。

为了计算的方便，我们直接将 35mm 等效焦距记为实际焦距乘以焦距转换率（裁切系数）。典型的裁切系数有尼康、索尼 APS-C 格式是 1.5 ，佳能的 APS-C 格式是 1.6 倍， M4/3 格式是 2 。

剪切系数

等效焦距的本质是视角等效，但为什么我们要讲等效焦距，而不是等效视角，虽然后者似乎看起来似乎给人带来更直观的认知，但是没有办法，没人能口算 arctan/tan 三角函数。。。等效焦距的提出，为三角函数（正切和反正切）对于一般人来说不容易快速计算这个问题提供了简单的数学工具。

$fov=2*arctan(\frac{W}{2f})$

等效光圈

等效光圈也是同理，当然不是说镜头的光圈值真的改变了，而是在画幅不同的情况下，我们能直接根据各自的等效光圈值来进行比较景深、弱光性能以及同结构下的分辨率等效果。

实际景深其实与焦距、画幅、光圈 F 值都无关，可以认为只取决于光圈的实际口径和对焦距离。
等效光圈决定景深，等效焦距除以等效光圈决定远景虚化能力。

景深的等效

理论上来说，只有位于某一特定平面的点光源（点 A）所发散出的光线才可以被镜头在底片上重新还原为一个点（A'）。偏离点A所在平面的点光源（B）将汇聚在另一平面上（B'），导致其在底片上形成一个光斑，也就是所谓的弥散圆（直径为 $\delta$ ）。

B 点离 A 点越远，则弥散圈越大，大到一定程度后 B 点便被虚化。A 点前后能清晰成像（弥散圆直径小于一定值）的范围被称为景深。

根据相似三角形可知

$\frac{v_a-v_b}{\delta}=\frac{v_b}{D}$

而光圈 F 的定义实质为焦距和孔径的比值（因为成像亮度不是跟光圈孔径有关，而是与焦距/光圈孔径有关）

$F= \frac{f}{D}$

而根据高斯公式 $\frac{1}{u} + \frac{1}{v} = \frac{1}{f}$ ，此 f 为真实焦距，而非等效焦距。将 $\delta$ 表示出来，用 u 和 f 来消去 v ，即可表达为

$\delta =\frac{(u_b - u_a) f^2}{(u_a-f)u_b F}$

而 $u_a \gg f$ （非微距场景都成立）

$f_x = f_1/x$

用有大小不同的两块底，大底的边长是小底的 x 倍， $f_1$ 为标式真实焦距，其等效焦距为

$f_x = f_1/x$

（所以 x 是底的幅面系数，1/x 是裁切系数）

而使用了不同的画幅，因为不同幅面感光元件，其容许弥散圆的大小是不一样的，也就是说同样大小的弥散圆，在大底相机上可能不算什么，但是在小底上简直就虚的一塌糊涂。所以我们得比较弥散圆直径相比传感器的相对大小为虚化程度：

$\Delta \delta = \frac{\delta}{x} = \frac{(u_b - u_a) f^2}{u_a u_b F x} = \frac{(u_b - u_a) x^2 f_x^2}{u_a u_b F x} = \frac{(u_b - u_a) f_x^2 }{u_a u_b F } x$

所以小底相机在使用同样的光圈 F 值的情况下，其实际虚化程度只有大底相机的 1/x。为了补偿这一差距，达到相同的虚化程度，小底相机需要将光圈孔径开大 x 倍。

所以小底相机此时光圈值为 F 时的虚化效果，等效为大底相机光圈值为 xF 时的虚化效果，这就是等效光圈。

根据公式我们可以看出：

当物距固定，使用相同的底，即底的幅面 x 固定，和同样标示焦距f1的镜头，那么光圈越大，F 数字越小，虚化程度越大。
当使用相同的底，即底的幅面 x 固定，光圈 F 固定，那么物距（对焦距离） $u_a$ 越小，函数关于 $u_a$ 单调，虚化程度越大。
当使用相同的底，即底的幅面 x 固定，光圈 F 固定，物距 $u_a$ 固定，则焦距 $f_x$ 越长，虚化程度越大。
当物距 $u_a$ 固定，等效焦距 $f_x$ 固定，光圈数 F 固定，则底的幅面 x 越大，虚化程度越大。

除了景深的等效，等效光圈还引出了其他的概念，如等效的暗光性能，衍射，但由于内容过于考究枯燥，笔者也未能完全理解和转述清楚，有兴趣可以参考上述链接。

Reference

以上部分内容转载自兰拓空间和知乎专栏

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